論理パズル『7つのスイッチ』 すべてのスイッチを点灯させることはできるのか?
8分では解けない論理パズル&クイズ問題
少し難しめの論理パズル問題です。
7つのスイッチが円状に並んでいます。この7つのスイッチすべてを点灯させられますか?
7つのスイッチ問題
7つのタイル状のスイッチが、円の形に並んでいます。
今、全てのタイルスイッチは消灯(青)しています。
スイッチを1つ触れると黄色く点灯しますが、両サイドのスイッチも反応し、点灯します。
点灯しているスイッチに触れると、消灯します。両サイドのスイッチも同様に反応します。
このスイッチは、触れたスイッチも、両サイドのスイッチも、点灯している場合は消灯し、消灯している場合は点灯するようにつくられています。
図で表すと、下記のような反応が起こります。赤矢印が、触れたスイッチです。
最少の手数で、全てのスイッチを点灯(黄色)させてください。
問題解決のヒント1
スイッチは7つあります。
1回触れること江、3か所のスイッチが反応します。
2回で6か所、3回で9か所です。
7か所すべてを点灯させるので、スイッチは3回以上触れる必要があります。
問題解決のヒント2
1つのスイッチをスイッチAとします。
このスイッチAを1回押すとそのスイッチと両側のスイッチ(BとGとします)が反応します。
もし、もう一度Aを押したなら、AもBもGも、Aを押さなかった状態に戻ります。
つまり、押してから、押さなかったことにしてるだけなので、意味のない行動です。
1つのスイッチを2回触れる必要がないことがわかるので、スイッチに触れる回数は3~7回のいずれかです。
パズルの解説1
頭の中で何回か試していくと、3~4回くらいでは絶対に無理であることに気づくでしょう。
解決のヒント2で示した通り、全てのスイッチは、最高で1回までしか触れません。
スイッチA~Gがあるとします。
スイッチBに注目すると、このスイッチは、スイッチB自体を触ったとき、スイッチAかCを触ったときに反応します。
最短の手数にしたいので、スイッチBは一度しか反応させたくないと考えたとします。
つまり、スイッチBを反応させるスイッチであるスイッチA、B、Cのうち、いずれか1つを1回しか触れないということになります。
これは可能でしょうか?
スイッチBを点灯させる方法は下記の2つです。
・スイッチBに触れる
・スイッチAかスイッチCに触れる
◆スイッチBに触れた場合
スイッチABCが点灯しました。
この状態でスイッチAかCに触れるとスイッチBが消灯してしまいます。
スイッチBを反応させないためには、スイッチAとCも触れられません。
スイッチの中で触れることができるのはD、E、F、Gですが、Dに触れると、その隣にあるCが、Gに触れるとその隣にあるAが反応してしまいます。
CやAが消灯してしまうと、再び点灯させるために、Bを反応させるしかなくなります。
一方で、Eに触れた場合、DとFも点灯します。残るはGのみですが、Gに触れるとAが反応してしまい、先ほどと同様Bを反応させる結果になります。Fに触れればEとFが消灯するので、やはりDかGに触れなければならなくなります。
スイッチBを触れた上で、スイッチBを1回のみしか反応させない(最初に点灯させるのみ)ことはできません。
◆スイッチAかCに触れた場合
代表してスイッチAで考えます。
スイッチAに触れればBは点灯します。同時にGも点灯します。これ以上スイッチABCに触れなければスイッチBの反応を1回に抑えられます。
触れられるスイッチはD、E、F、Gです。
今、A、B、Gが点灯しているので、スイッチCに触らずにCを点灯させるためには、Dに触れるしかありません。
これで、A、B、C、D、E、Gが点灯しました。残るはFです。
Fを点灯させるためには、EかFかGに触れる必要があります。Eに触れると、隣の消灯してしまったDを何とかするためにCに触れてしまいます(Dは既に1度触れたため)。
Gに触れると、Aが消灯してしまい、AかBを触らなければいけなくなります。
では、Fに触れるはどうでしょうか。Fに触れると、消灯してしまったGをAに触らずに何とかするために、G自身を触ります。するとAが消灯してしまい、AやBを触ってしまいます。
ここから、「スイッチB」を1回の反応だけで終わらせることはできないとわかります。
これはすべてのスイッチに言えるので、全てのスイッチは最低でも3回の反応が必要です。
スイッチは1回で3つのスイッチを反応させるので、7回触れる必要があります。
全てのスイッチは最高で1回までしか触れませんから、7つ全てのスイッチを1回ずつ押す、が正解です。
パズルの解説2
別のアプローチで解説を。
1回触れると3つの反応が起きるルールで、7つのスイッチを点灯にもっていきます。
1回触れると反応は3、2回触れると6、3回で9、4回で12、5回で15、6回で18、7回で21です。
7か所を点灯させたいので、反応させる(触る数ではなく、両側のスイッチも含める反応した数)スイッチの数は奇数になるはずです。
偶数の場合、どれかが消灯しています。
たとえば、反応の数が10の場合、7か所を点灯させて、後3回分ですから、消灯⇒点灯⇒消灯か、消灯⇒消灯⇒消灯とするしかなく、必ずどこかに消灯が残ります。
ここから、触れる数は3回か、5回か、7回です。3回が不可能なことはすぐにわかりますから、5回か7回しかありません。
全てのスイッチを触る(7回)と考えた時、下記のような考えからすべてのスイッチが点灯するとわかります。
スイッチBを触り、スイッチA、B、Cを点灯させたとします。
スイッチAを触れば、隣にあるスイッチBは消灯します。その後スイッチCを触れば再びスイッチBは点灯します。
つまり、全てのスイッチは、そのスイッチ自体と、両側のスイッチに触れることで点灯するのです。
こう考えると、全てのスイッチを触れれば、7つ全てが点灯することがわかります。
もし、5回しか触れないとなると、7回触れるときから2回分触れない方法を考えなければいけません。
少し考えるとこれは不可能だなと気づけるでしょう。
パズルの答え
7回ですべてのスイッチを点灯できます。