論理パズル『７つのスイッチ』 すべてのスイッチを点灯させることはできるのか？
８分では解けない論理パズル＆クイズ問題
少し難しめの論理パズル問題です。
７つのスイッチが円状に並んでいます。この７つのスイッチすべてを点灯させられますか？
７つのスイッチ問題
７つのタイル状のスイッチが、円の形に並んでいます。
今、全てのタイルスイッチは消灯（青）しています。
スイッチを１つ触れると黄色く点灯しますが、両サイドのスイッチも反応し、点灯します。
点灯しているスイッチに触れると、消灯します。両サイドのスイッチも同様に反応します。
このスイッチは、触れたスイッチも、両サイドのスイッチも、点灯している場合は消灯し、消灯している場合は点灯するようにつくられています。
図で表すと、下記のような反応が起こります。赤矢印が、触れたスイッチです。
最少の手数で、全てのスイッチを点灯（黄色）させてください。
問題解決のヒント１
スイッチは７つあります。
１回触れること江、３か所のスイッチが反応します。
２回で６か所、３回で９か所です。
７か所すべてを点灯させるので、スイッチは３回以上触れる必要があります。
問題解決のヒント２
１つのスイッチをスイッチＡとします。
このスイッチＡを１回押すとそのスイッチと両側のスイッチ（ＢとＧとします）が反応します。
もし、もう一度Ａを押したなら、ＡもＢもＧも、Ａを押さなかった状態に戻ります。
つまり、押してから、押さなかったことにしてるだけなので、意味のない行動です。
１つのスイッチを２回触れる必要がないことがわかるので、スイッチに触れる回数は３～７回のいずれかです。
パズルの解説１
頭の中で何回か試していくと、３～４回くらいでは絶対に無理であることに気づくでしょう。
解決のヒント２で示した通り、全てのスイッチは、最高で１回までしか触れません。
スイッチＡ～Ｇがあるとします。
スイッチＢに注目すると、このスイッチは、スイッチＢ自体を触ったとき、スイッチＡかＣを触ったときに反応します。
最短の手数にしたいので、スイッチＢは一度しか反応させたくないと考えたとします。
つまり、スイッチＢを反応させるスイッチであるスイッチＡ、Ｂ、Ｃのうち、いずれか１つを１回しか触れないということになります。
これは可能でしょうか？
スイッチＢを点灯させる方法は下記の２つです。
・スイッチＢに触れる
・スイッチＡかスイッチＣに触れる
◆スイッチＢに触れた場合
スイッチＡＢＣが点灯しました。
この状態でスイッチＡかＣに触れるとスイッチＢが消灯してしまいます。
スイッチＢを反応させないためには、スイッチＡとＣも触れられません。
スイッチの中で触れることができるのはＤ、Ｅ、Ｆ、Ｇですが、Ｄに触れると、その隣にあるＣが、Ｇに触れるとその隣にあるＡが反応してしまいます。
ＣやＡが消灯してしまうと、再び点灯させるために、Ｂを反応させるしかなくなります。
一方で、Ｅに触れた場合、ＤとＦも点灯します。残るはＧのみですが、Ｇに触れるとＡが反応してしまい、先ほどと同様Ｂを反応させる結果になります。Ｆに触れればＥとＦが消灯するので、やはりＤかＧに触れなければならなくなります。
スイッチＢを触れた上で、スイッチＢを１回のみしか反応させない（最初に点灯させるのみ）ことはできません。
◆スイッチＡかＣに触れた場合
代表してスイッチＡで考えます。
スイッチＡに触れればＢは点灯します。同時にＧも点灯します。これ以上スイッチＡＢＣに触れなければスイッチＢの反応を１回に抑えられます。
触れられるスイッチはＤ、Ｅ、Ｆ、Ｇです。
今、Ａ、Ｂ、Ｇが点灯しているので、スイッチＣに触らずにＣを点灯させるためには、Ｄに触れるしかありません。
これで、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｇが点灯しました。残るはＦです。
Ｆを点灯させるためには、ＥかＦかＧに触れる必要があります。Ｅに触れると、隣の消灯してしまったＤを何とかするためにＣに触れてしまいます（Ｄは既に１度触れたため）。
Ｇに触れると、Ａが消灯してしまい、ＡかＢを触らなければいけなくなります。
では、Ｆに触れるはどうでしょうか。Ｆに触れると、消灯してしまったＧをＡに触らずに何とかするために、Ｇ自身を触ります。するとＡが消灯してしまい、ＡやＢを触ってしまいます。
ここから、「スイッチＢ」を１回の反応だけで終わらせることはできないとわかります。
これはすべてのスイッチに言えるので、全てのスイッチは最低でも３回の反応が必要です。
スイッチは１回で３つのスイッチを反応させるので、７回触れる必要があります。
全てのスイッチは最高で１回までしか触れませんから、７つ全てのスイッチを１回ずつ押す、が正解です。
パズルの解説２
別のアプローチで解説を。
１回触れると３つの反応が起きるルールで、７つのスイッチを点灯にもっていきます。
１回触れると反応は３、２回触れると６、３回で９、４回で１２、５回で１５、６回で１８、７回で２１です。
７か所を点灯させたいので、反応させる（触る数ではなく、両側のスイッチも含める反応した数）スイッチの数は奇数になるはずです。
偶数の場合、どれかが消灯しています。
たとえば、反応の数が１０の場合、７か所を点灯させて、後３回分ですから、消灯⇒点灯⇒消灯か、消灯⇒消灯⇒消灯とするしかなく、必ずどこかに消灯が残ります。
ここから、触れる数は３回か、５回か、７回です。３回が不可能なことはすぐにわかりますから、５回か７回しかありません。
全てのスイッチを触る（７回）と考えた時、下記のような考えからすべてのスイッチが点灯するとわかります。
スイッチＢを触り、スイッチＡ、Ｂ、Ｃを点灯させたとします。
スイッチＡを触れば、隣にあるスイッチＢは消灯します。その後スイッチＣを触れば再びスイッチＢは点灯します。
つまり、全てのスイッチは、そのスイッチ自体と、両側のスイッチに触れることで点灯するのです。
こう考えると、全てのスイッチを触れれば、７つ全てが点灯することがわかります。
もし、５回しか触れないとなると、７回触れるときから２回分触れない方法を考えなければいけません。
少し考えるとこれは不可能だなと気づけるでしょう。
パズルの答え
７回ですべてのスイッチを点灯できます。
