有名超難解論理パズル『１３枚の金貨と天秤パズル』軽い重いかもわからない偽金貨を見抜くパズル
有名論理パズル＆クイズ問題
たった３回天秤を使うだけで１３枚の金貨から１枚の偽物を見抜くパズル。
９つの袋から天秤を２回使って偽物を見抜くパズルも有名ですが、こちらははるかに難題です。
偽物を見抜けるでしょうか？
１３枚の金貨と天秤パズル
ここに１３枚の金貨と、天秤があります。
１３枚のうち１枚は偽物の金貨ですが、偽物は本物より軽いのか重いのかわかりません。
ただ、微妙に重さが違うため、天秤で計れば重さの違いが判ります。
用意された天秤はあと３回しか使えません。
１枚の偽物の金貨を見抜いてください。
問題解決のヒント１
１回目はどのように天秤を使えばいいでしょうか。
左右に乗せる金貨の数は同じでないと意味がないところまでは分かっても、１枚ずつ、２枚ずつ、３枚ずつ、４枚ずつ、５枚ずつ、６枚ずつと６択から選ばなければいけません。
３回しかチャンスがないので、１枚ずつや、２枚ずつはまずないでしょう。
さて、残りの４択からどれを選べばよいでしょうか？
問題解決のヒント２
偽物の金貨は重いか軽いかわかりません。
たとえば、６枚ずつ乗せたとして、もし、どちらかに傾いたとしたら、今天秤に乗せている１２枚の内のどれかが偽物です。
問題解決のヒント３
天秤を使って、左の皿のほうが重かったとします。
この場合、もし、偽物の金貨が左の皿にあった場合、偽物の金貨は、本物の金貨より重かったということになります。
また、偽物の金貨が右の皿にあった場合、偽物の金貨は、本物の金貨より軽かったということになります。
パズルの解説１
９つの袋から天秤を２回使って偽物を見抜くパズルでは、左の皿、右の皿、天秤に乗せないの３グループに３袋ずつ分けました。
偽物は「わずかに軽い」とわかっていたので、天秤が傾けば、軽いほうに偽物があるとすぐにわかりました。
しかし、今回のパズルでは、天秤が傾いてもど左の皿と右の皿のどちらに偽物があるかわかりません。
最初にどの枚数ずつ乗せればいいのかが最初の難所です。３枚ずつ、４枚ずつ、５枚ずつ、６枚ずつのどれかです。
まず、最後（３回目）の計量で判別できるのは３枚までです。
左の皿、右の皿、どちらにも乗っていない、の３つにしか分けられないからです。
つまり、３回目の計量までに３枚に絞る必要があります。
◆６枚ずつ乗せる場合
６枚ずつとすると、残りの１枚が偽物でない限りどちらかに傾きます。
１回目の計量が終了した時点で、候補が１２枚残るという可能性を考えると、これはよい手ではありません。
同様に５枚ずつ乗せてもなかなかうまくいきません。
◆３枚ずつ乗せる場合
次に３枚ずつを考えてみます。
天秤に乗せて釣り合えば、残りの７枚、どちらかに傾けば天秤に乗せた６枚の中に偽物があります。
これなら、きれいに２つのグループに分けられたような気がします。
では、この２つのグループの持つ情報は同じでしょうか？
天秤に乗せなかった７枚のなかに偽物がある場合、他に情報はないので、残り２回の計量で１枚を見つけ出さないといけません。
しかし、もし、天秤に乗せた６枚のグループのほうに偽物があるとすると、この６枚はそれぞれ有益な情報を持っています。
左の皿に乗せた３枚をＡグループ、右の皿に乗せたほうをＢグループとします。
そして、Ａグループのほうが重かった場合、次のことがいえます。
・Ａグループの中に偽物がある場合、偽物は本物より重い
・Ｂグループの中に偽物がある場合、偽物は本物より軽い
もし、Ａグループの中に偽物があるとわかったなら、Ａグループの中の２枚を天秤にのせ、傾いた場合は重かったほうが偽物とわかるのです。
３枚ずつ天秤に乗せた場合、釣り合えば３回の計量で突破できますが、釣り合わなかった場合、残り２回で７枚から１枚の偽物を知ることはできません。
※パズルの解説２以降で解説していますが、５枚以下であれば残り２回で判別できます。
パズルの解説２
◆４枚ずつ乗せる場合
金貨の数が１３枚なので、９つの袋の時のように、ほぼ同じ数になるように３つのグループに分けるとして考えてみます。
すると、左の皿に４枚、右の皿に４枚を乗せ、天秤に乗せていない５枚とに分けることになります。
すると、下記の３通りの傾き方が考えられます。
◆１回目で天秤が釣り合った場合
偽物は残りの５枚の中に含まれています。
残り２回です。
まだ、偽物が重いのか、軽いのかはわかりません。
しかし、１回目とは明らかに違う大きなヒントがあります。
それは、５枚以外の８枚は本物であると確定したことです。
たとえば、残りが２枚だとしたら、こんなふうに計れます。
・左の皿に残り２枚のうちの１枚を乗せる
・右の皿に本物の金貨を１枚を乗せる
すると、もし釣り合えば残った１枚が偽物（重いか軽いかはわからない）です。
釣り合わなければ、左の皿に乗っている１枚が偽物です。
あと２回で５枚残っています。２枚は残しても１回で偽物を見抜けますから、３枚を左の皿に乗せてみます。
右の皿には本物を３枚乗せます。
釣り合えば、先ほどの方法で残りの２枚から偽物を割り出します。
傾いた場合、次の２通りが考えられます。
・左の皿が重い場合、左の皿に本物より重い偽物がある
・右の皿が重い場合、左の皿に本物より軽い偽物がある
〔左の皿が重かった場合〕
３回目の計量で、偽物が含まれる３枚のうちの１枚ずつを左右の皿に乗せます。
傾けば重かったほう、釣り合えば今乗せなかった金貨が偽物です。
〔右の皿が重かった場合〕
３回目の計量で、偽物が含まれる３枚のうちの１枚ずつを左右の皿に乗せます。
傾けば軽かったほう、釣り合えば今乗せなかった金貨が偽物です。
◆１回目で天秤が釣り合わなかった場合
重かったほうをＡグループ、軽かったほうをＢグループとします。
・Ａグループの中に偽物がある場合、偽物は本物より重い
・Ｂグループの中に偽物がある場合、偽物は本物より軽い
のように考えられるので、こんな方法があります。
仮にＡグループの２枚と、Ｂグループの２枚を左の皿に乗せ、右の皿に本物の４枚を置いた場合その結果から下記の推理ができます。
左の皿が重かったとしたら、Ａグループの２枚のうちのいずれかが偽物ということになります。
逆に、右の皿が重かったとしたら、Ｂグループの２枚のうちのいずれかが偽物ということです。
しかし、この方法だと、天秤が釣り合った場合に、残る４枚から偽物を見抜けません。
本物の金貨は５枚ありますから、もう１枚増やしてみます。
Ａグループの３枚とＢグループの２枚を左の皿に乗せ、右の皿に本物の５枚を置きます。
もし、傾いた場合、下記のいずれかです。
〔左の皿が重い／Ａグループの３枚に偽物が含まれる〕
３回目に、Ａグループの２枚を比較し、傾けば重いほう、釣り合えば残る１枚が偽物。
〔右の皿が重い／Ｂグループの２枚に偽物が含まれる〕
３回目にＢグループの２枚を比較し、軽いほうが偽物。
※Ｂグループの１枚と、本物１枚を比較しても可能。
次に釣り合った場合を考えます。
釣り合った場合、残る３枚（Ａグループの１枚、Ｂグループの２枚）の中に偽物があります。
見抜く方法は下記の２通りです。
・Ｂグループの２枚を天秤に乗せ、釣り合えばＡグループの１枚、傾けば軽かったほうが偽物
・Ａグループの１枚とＢグループの１枚を左の皿に、右の皿に本物２枚を置き、釣り合えば乗せなかった金貨が偽物、重かった場合はＡグループの１枚、軽かった場合はＢグループの１枚が偽物
パズルの答え
１回目に左右に４枚ずつ乗せ、解説にあるように分析していく。