有名超難解論理パズル『13枚の金貨と天秤パズル』軽い重いかもわからない偽金貨を見抜くパズル

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有名論理パズル&クイズ問題

たった3回天秤を使うだけで13枚の金貨から1枚の偽物を見抜くパズル。
9つの袋から天秤を2回使って偽物を見抜くパズルも有名ですが、こちらははるかに難題です。

偽物を見抜けるでしょうか?

 

13枚の金貨と天秤パズル

ここに13枚の金貨と、天秤があります。

13枚のうち1枚は偽物の金貨ですが、偽物は本物より軽いのか重いのかわかりません。
ただ、微妙に重さが違うため、天秤で計れば重さの違いが判ります。

用意された天秤はあと3回しか使えません。
1枚の偽物の金貨を見抜いてください。

問題解決のヒント1

1回目はどのように天秤を使えばいいでしょうか。
左右に乗せる金貨の数は同じでないと意味がないところまでは分かっても、1枚ずつ、2枚ずつ、3枚ずつ、4枚ずつ、5枚ずつ、6枚ずつと6択から選ばなければいけません。

3回しかチャンスがないので、1枚ずつや、2枚ずつはまずないでしょう。

さて、残りの4択からどれを選べばよいでしょうか?

 

問題解決のヒント2

偽物の金貨は重いか軽いかわかりません。
たとえば、6枚ずつ乗せたとして、もし、どちらかに傾いたとしたら、今天秤に乗せている12枚の内のどれかが偽物です。

 

問題解決のヒント3

天秤を使って、左の皿のほうが重かったとします。

この場合、もし、偽物の金貨が左の皿にあった場合、偽物の金貨は、本物の金貨より重かったということになります。
また、偽物の金貨が右の皿にあった場合、偽物の金貨は、本物の金貨より軽かったということになります。

 

パズルの解説1

9つの袋から天秤を2回使って偽物を見抜くパズルでは、左の皿、右の皿、天秤に乗せないの3グループに3袋ずつ分けました。
偽物は「わずかに軽い」とわかっていたので、天秤が傾けば、軽いほうに偽物があるとすぐにわかりました。
しかし、今回のパズルでは、天秤が傾いてもど左の皿と右の皿のどちらに偽物があるかわかりません。

最初にどの枚数ずつ乗せればいいのかが最初の難所です。3枚ずつ、4枚ずつ、5枚ずつ、6枚ずつのどれかです。

まず、最後(3回目)の計量で判別できるのは3枚までです。
左の皿、右の皿、どちらにも乗っていない、の3つにしか分けられないからです。
つまり、3回目の計量までに3枚に絞る必要があります。

◆6枚ずつ乗せる場合

6枚ずつとすると、残りの1枚が偽物でない限りどちらかに傾きます。
1回目の計量が終了した時点で、候補が12枚残るという可能性を考えると、これはよい手ではありません。
同様に5枚ずつ乗せてもなかなかうまくいきません。

◆3枚ずつ乗せる場合

次に3枚ずつを考えてみます。
天秤に乗せて釣り合えば、残りの7枚、どちらかに傾けば天秤に乗せた6枚の中に偽物があります。
これなら、きれいに2つのグループに分けられたような気がします。

では、この2つのグループの持つ情報は同じでしょうか?
天秤に乗せなかった7枚のなかに偽物がある場合、他に情報はないので、残り2回の計量で1枚を見つけ出さないといけません。
しかし、もし、天秤に乗せた6枚のグループのほうに偽物があるとすると、この6枚はそれぞれ有益な情報を持っています。
左の皿に乗せた3枚をAグループ、右の皿に乗せたほうをBグループとします。
そして、Aグループのほうが重かった場合、次のことがいえます。

・Aグループの中に偽物がある場合、偽物は本物より重い
・Bグループの中に偽物がある場合、偽物は本物より軽い

もし、Aグループの中に偽物があるとわかったなら、Aグループの中の2枚を天秤にのせ、傾いた場合は重かったほうが偽物とわかるのです。

3枚ずつ天秤に乗せた場合、釣り合えば3回の計量で突破できますが、釣り合わなかった場合、残り2回で7枚から1枚の偽物を知ることはできません。
※パズルの解説2以降で解説していますが、5枚以下であれば残り2回で判別できます。

 

パズルの解説2

◆4枚ずつ乗せる場合

金貨の数が13枚なので、9つの袋の時のように、ほぼ同じ数になるように3つのグループに分けるとして考えてみます。
すると、左の皿に4枚、右の皿に4枚を乗せ、天秤に乗せていない5枚とに分けることになります。
すると、下記の3通りの傾き方が考えられます。

◆1回目で天秤が釣り合った場合

偽物は残りの5枚の中に含まれています。

残り2回です。

まだ、偽物が重いのか、軽いのかはわかりません。
しかし、1回目とは明らかに違う大きなヒントがあります。
それは、5枚以外の8枚は本物であると確定したことです。

たとえば、残りが2枚だとしたら、こんなふうに計れます。
・左の皿に残り2枚のうちの1枚を乗せる
・右の皿に本物の金貨を1枚を乗せる
すると、もし釣り合えば残った1枚が偽物(重いか軽いかはわからない)です。
釣り合わなければ、左の皿に乗っている1枚が偽物です。

あと2回で5枚残っています。2枚は残しても1回で偽物を見抜けますから、3枚を左の皿に乗せてみます。
右の皿には本物を3枚乗せます。
釣り合えば、先ほどの方法で残りの2枚から偽物を割り出します。
傾いた場合、次の2通りが考えられます。

・左の皿が重い場合、左の皿に本物より重い偽物がある
・右の皿が重い場合、左の皿に本物より軽い偽物がある

〔左の皿が重かった場合〕

3回目の計量で、偽物が含まれる3枚のうちの1枚ずつを左右の皿に乗せます。
傾けば重かったほう、釣り合えば今乗せなかった金貨が偽物です。

〔右の皿が重かった場合〕

3回目の計量で、偽物が含まれる3枚のうちの1枚ずつを左右の皿に乗せます。
傾けば軽かったほう、釣り合えば今乗せなかった金貨が偽物です。

◆1回目で天秤が釣り合わなかった場合

重かったほうをAグループ、軽かったほうをBグループとします。

・Aグループの中に偽物がある場合、偽物は本物より重い
・Bグループの中に偽物がある場合、偽物は本物より軽い

のように考えられるので、こんな方法があります。
仮にAグループの2枚と、Bグループの2枚を左の皿に乗せ、右の皿に本物の4枚を置いた場合その結果から下記の推理ができます。
左の皿が重かったとしたら、Aグループの2枚のうちのいずれかが偽物ということになります。
逆に、右の皿が重かったとしたら、Bグループの2枚のうちのいずれかが偽物ということです。

しかし、この方法だと、天秤が釣り合った場合に、残る4枚から偽物を見抜けません。
本物の金貨は5枚ありますから、もう1枚増やしてみます。

Aグループの3枚とBグループの2枚を左の皿に乗せ、右の皿に本物の5枚を置きます。
もし、傾いた場合、下記のいずれかです。

〔左の皿が重い/Aグループの3枚に偽物が含まれる〕
3回目に、Aグループの2枚を比較し、傾けば重いほう、釣り合えば残る1枚が偽物。

〔右の皿が重い/Bグループの2枚に偽物が含まれる〕
3回目にBグループの2枚を比較し、軽いほうが偽物。
※Bグループの1枚と、本物1枚を比較しても可能。

次に釣り合った場合を考えます。
釣り合った場合、残る3枚(Aグループの1枚、Bグループの2枚)の中に偽物があります。
見抜く方法は下記の2通りです。

・Bグループの2枚を天秤に乗せ、釣り合えばAグループの1枚、傾けば軽かったほうが偽物
・Aグループの1枚とBグループの1枚を左の皿に、右の皿に本物2枚を置き、釣り合えば乗せなかった金貨が偽物、重かった場合はAグループの1枚、軽かった場合はBグループの1枚が偽物

パズルの答え

1回目に左右に4枚ずつ乗せ、解説にあるように分析していく。

Posted by admin3


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